Qual e a distancia radial um projetil atinge?

Um projétil é disparado diretamente da superfície da terra. Negligencie a rotação da terra.

(a) como um múltiplo do raio da terra RE, qual é a distância radial de um projétil atinge se sua velocidade inicial é de três quintos da velocidade de escape da terra?
___xRE

(b) como um múltiplo do raio da terra RE, qual é a distância radial de um projétil atinge se sua energia cinética inicial é de um quinto da energia cinética necessária para escapar da terra?
___xRE

Resposta

Para resolver esse problema, podemos usar as equações da cinemática para encontrar a distância radial que um projétil atinge ao ser disparado da superfície da Terra.

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do problema. A velocidade de escape da Terra pode ser encontrada pela equação ve = v(2gRE), onde g é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²) e RE é o raio da Terra (aproximadamente 6,371 x 10^6 m). Portanto, a velocidade de escape ve é aproximadamente 11,2 km/s.

A partir disso, sabendo que a velocidade inicial do projétil é três quintos da velocidade de escape da Terra, podemos calcular essa velocidade como sendo 3/5 11,2 km/s, o que resulta em 6,72 km/s.

Usando a equação da energia cinética (Ec = mv²/2), onde m é a massa do projétil e v é a velocidade, podemos encontrar a energia cinética inicial do projétil. No entanto, para o propósito desta resolução, vamos considerar a massa do projétil como sendo cancelada nessa equação. Portanto, a energia cinética inicial do projétil com velocidade de 6,72 km/s é aproximadamente 23,3 MJ (megajoules).

A distância radial que o projétil atinge pode ser encontrada pela equação de energia cinética, onde a energia cinética é igual à energia potencial no ponto mais alto da trajetória. Assim, a distância radial xRE é a raiz quadrada de 2 vezes a energia cinética inicial do projétil dividida pela gravidade, o que resulta em xRE ˜ v((2 23,3 x 10^6 J) / (9,81 m/s²)), o que nos dá xRE ˜ 3,82 x 10^6 m.

Portanto, a distância radial que o projétil atinge, considerando que sua velocidade inicial é três quintos da velocidade de escape da Terra, é aproximadamente 3,82 vezes o raio da Terra.

Vamos resolver a parte (b) do problema. Se a energia cinética inicial do projétil é um quinto da energia cinética necessária para escapar da Terra, então podemos determinar a energia cinética necessária para escapar da Terra multiplicando a energia cinética inicial por 5. Portanto, a energia cinética necessária é aproximadamente 116,5 MJ.

Usando a mesma equação de energia cinética, podemos encontrar a distância radial que o projétil atinge. Substituindo o valor da energia cinética necessária na equação, obtemos xRE ˜ v((2 116,5 x 10^6 J) / (9,81 m/s²)), o que resulta em xRE ˜ 10,83 x 10^6 m.

Assim, a distância radial que o projétil atinge, considerando que sua energia cinética inicial é um quinto da energia cinética necessária para escapar da Terra, é aproximadamente 10,83 vezes o raio da Terra.

Portanto, utilizando a cinemática e as equações de energia cinética, podemos determinar a distância que um projétil atinge em relação ao raio da Terra, levando em consideração sua velocidade inicial e energia cinética.